バックトラッキングアルゴリズム

バックトラッキングアルゴリズムとは何ですか?

バックトラッキングは、問題解決のための可能な組み合わせを検索するアルゴリズムです。 計算上の問題段階的に候補を構築し、与えられた制約を満たさない候補を削除します。この手法は、複数の可能な結果の中から実行可能なソリューションを選択しなければならない状況で非常に役立ちます。

このアルゴリズムは、ブルートフォースアプローチよりも優れており、効率的であると考えられています。ブルートフォースがすべての可能な解決策を試すのとは異なり、バックトラッキングは、与えられた条件に従って1つの最終解決策のみを見つけることに焦点を当てています。制約また、行き止まりに達した後に最後のステップを元に戻し (バックトラック)、別のオプションを試すことで、時間とメモリを節約します。さらに、有効な解決策が見つかるとすぐに停止します。

バックトラッキングは、リソースを大量に消費することなく複雑な問題を解決できるため、広く使用されている手法です。数独、n クイーン問題、スケジュールなど、多数の制約を満たす必要がある問題に特に役立ちます。バックトラッキングは、潜在的な解決策をインテリジェントにナビゲートすることで、すべての条件を満たす答えを見つけることができます。そのため、精度と効率の両方が求められるタスクには非常に役立ちます。

バックトラッキングアルゴリズムはどのように機能しますか?

バックトラッキングアルゴリズムは、ステップごとに有効な解決策を見つける問題解決手法です。ステップの制約が特定の条件を満たさない場合、アルゴリズムは前のステップに戻ります。

次に、与えられた制約を満たす他の可能な組み合わせに進みます。多数の可能な組み合わせが存在するため、最も満足のいくオプションの 1 つを選択し、問題を順番に解決します。このアルゴリズム手法は、1 つ以上の可能なオプションを解決する必要がある場合に便利です。取り消しとは、有効な解決策を生み出さない状況が発生するたびに、選択を取り消すことを意味します。

バックトラッキングアルゴリズムでは、一般的に次の手順で問題を解決します。

ステップ1) 初期化: 最初は空または部分的なソリューションから始めます。

ステップ2) 選択: 特定の基準と制約に基づいて、現在のソリューションを拡張するオプションを 1 つ選択します。

ステップ3) 探索: 選択された候補を考慮し、問題解決のプロセスを進めることで再帰的に解決します。

ステップ4) 制約チェック: 現在の部分的なソリューションが各ステップで制約に違反していないかどうかを確認します。違反している場合は、前のステップに戻って別の候補を試します。

ステップ5) 終了: 有効な解決策が見つかるか、すべての組み合わせが試された時点で、バックトラッキングプロセスは停止します。

ステップ6) バックトラッキング: 現在のオプションで問題が解決しない場合は、前の状態に戻り、新しいオプションを検討して問題を解決します。

ステップ7) 繰り返し: 問題が解決するか、すべてのオプションが検討されるまで、これらの手順を続行します。

バックトラッキングアルゴリズムの再帰的性質

バックトラッキングアルゴリズムは本質的に再帰的です。つまり、アルゴリズムは、解決策が見つかるか、すべての可能性をテストするまで、さまざまなパラメータを使用して自分自身を呼び出します。

def find_solutions(n, other_params):
    if found_a_solution():
        increment_solutions_found()
        display_solution()
        if solutions_found >= solution_target:
            exit_program()
        return	

    for val in range(first, last+1):
        if is_valid(val, n):
            apply_value(val, n)
            find_solutions(n + 1, other_params)
            remove_value(val, n)

バックトラッキング問題に関連する一般的な用語

バックトラッキング手法に関連する基本的な用語は次のとおりです。

解決策のベクトル: ソリューションを (X1, X2, …, Xn) のような n 組として表します。
制約: X 値を制限する暗黙的および明示的なルール。
ソリューションスペース: 明示的な制約を満たすすべての有効な X 値。
状態空間ツリー: 解空間をツリーとして表します。
状態空間: 状態空間ツリー内のパスを記述します。
問題の状態: 部分的な解を表す検索ツリー内のノード。
ソリューションの状態: S 内で有効なソリューションタプルを形成する状態。
回答状態: 暗黙の制約を満たし、望ましいソリューションを生成します。
有望なノード: 望ましい解決策につながり、実行可能のままです。
有望でないノード: 実行不可能な状態につながるため、それ以上調査しません。
ライブノード: 未探索の子で生成されました。
Eノード: 子の生成が進行中のライブノード。
デッドノード: 生成されたすべての子のさらなる拡張はありません。
深さ優先ノード生成: 最新のライブノードを次の E ノードとして使用します。
境界関数: 最適化のためにB(x1, x2, …, Xa)を最大化または最小化します。
静的ツリー: 問題インスタンスに依存しないツリー定式化。
ダイナミックツリー: ツリーの構成は問題インスタンスによって異なります。

バックトラッキングアルゴリズムはいつ使用すればよいですか?

次のような場合には、複雑な問題を解決するためにバックトラッキング手法を選択できます。

多くの選択肢があります: バックトラッキングは、問題解決プロセスの各ステップに多くのオプションが存在する場合に適しています。これらのオプションは、アイテムや移動の選択に関連している可能性があります。
明確な最善の選択はない利用可能なオプションの中から最適な選択を決定するための情報が不十分な場合は、バックトラッキングアルゴリズムを利用できます。
この決定により、より多くの選択肢が生まれます。 あなたは選ぶことができます選択を体系的に見直すバックトラッキング手法。
あらゆる解決策を検討する必要があるバックトラッキングは、一連の決定を積み重ねることで、すべての解決策を体系的に検討します。

バックトラッキング問題の種類

バックトラッキングアルゴリズムには、決定問題、最適化問題、列挙問題という 3 種類の問題があります。以下でそれらについて学習しましょう。

決定問題: このタイプの問題では、実行可能な解決策が存在するかどうかを判断することが目標です。「はい」と「いいえ」の答えを確認します。たとえば、n クイーン問題です。これは、n × n のチェス盤に n 個のクイーンを互いに攻撃せずに配置する可能性を調べる決定問題です。
最適化問題: 最適化問題では、多くの選択肢の中から最善の解決策を見つけることが目標です。これには、特定の関数または変数の最大値と最小値の決定が含まれる場合があります。たとえば、バックパックの問題を考えてみましょう。この問題の目的は、バッグの重量制限を守りながら、バッグ内のアイテムの合計値を最大化することです。
列挙問題: 与えられた問題に対するすべての可能な解決策を見つけることが目的です。すべての有効なオプションを省略なくリストします。例としては、与えられた文字セットからすべての可能な文字の組み合わせを生成することが挙げられます。

バックトラッキングの応用と例

バックトラッキングにはさまざまな用途があります。そのうちのいくつかを擬似コードとともに以下に説明します。

Sudoku Solver: この問題には、重複した数字を持つ 3×3 のサブグリッドが含まれています。バックトラッキング手法では、解が false を返し、別の数字の配置が必要であることが示されます。

function solveSudoku(board):
    if no empty cells:
        return true  # Sudoku is solved
    for each empty cell (row, col):
        for num from 1 to 9:
            if num is valid in (row, col):
                place num in (row, col)
                if solveSudoku(board):
                    return true
                remove num from (row, col)
    return false  # No valid solution

N-クイーン問題: バックトラッキングアプローチは、N × N のチェス盤上でクイーンが互いに脅威にならないようにクイーンをどのように表示するかを決定します。

function solveNQueens(board, col):
    if col >= N:
        return true  # All queens are placed
    for each row in the column col:
        if isSafe(board, row, col):
            place queen at (row, col)
            if solveNQueens(board, col + 1):
                return true
            remove queen from (row, col)
    return false  # No valid solution in this branch

部分和問題: 特定の目標合計に達する数値のセットから数値のサブセットを見つけるために使用されます。

function subsetSum(nums, target, index, currentSubset):
    if target == 0:
        print(currentSubset)  # Subset with the target sum found
        return
    if index >= len(nums) or target < 0:
        return
   currentSubset.add(nums[index])
   subsetSum(nums, target - nums[index], index + 1, currentSubset)
   currentSubset.remove(nums[index])
   subsetSum(nums, target, index + 1, currentSubset)

ハミルトニアンサイクル問題: バックトラッキングは、グラフ内の各頂点を 1 回だけ訪れる閉じたツアーを見つけるために適用できます。
迷路の中のネズミ問題: バックトラッキング技術は、迷路の開始点から出口までのネズミの経路を見つけるために使用されます。

バックトラッキングアルゴリズムの利点と欠点

バックトラッキングアルゴリズムの利点

バックトラッキング技術は複雑な問題を解決するために使用されます。次のような多くの利点があります。

バックトラッキング技術は制約の処理に効率的です。
この方法は最適化問題を解決するのに適しています。
この手法はさまざまな種類の問題に有効です。
この手順は、考えられるすべての解決策を確認するのに役立ちます。
バックトラックを行うため、ブルートフォース手法よりも多くのメモリを節約できます。

バックトラッキングアルゴリズムの欠点

バックトラッキング手法にも、時間の複雑さなどの制限があります。この手法には、次の欠点があります。

保証された解決策はありません。
組み合わせが多いため遅くなります。
可能性が多数あるため、時間の計算量が高くなります。
最適なソリューションを見つけるのに長い時間がかかる可能性があるため、リアルタイムの制約には適していません。
効率は問題の複雑さのレベルによって異なります。

バックトラックと再帰の違い

再帰	バックトラッキング
基本ケースに到達するまで自分自身を呼び出します。	再帰を使用して、実現可能な最良の結果が見つかるまですべての可能性を検討します。
ボトムアップアプローチ。	トップダウンアプローチ。
値は破棄されません。	実行不可能な解決策は拒否されます。

まとめ：

バックトラッキングは、実行可能な解決策を体系的に探索し、必要に応じてバックトラッキングすることで、複雑な問題を解決するための便利なアルゴリズム戦略です。バックトラッキング技術は、計算能力とアルゴリズムの効率性の向上に伴って強化されることが期待できます。これらの進歩により、より大規模で複雑な問題に効率的に取り組むことができるようになります。

さらに、機械学習モデルは、以前に学習したパターンに基づいてバックトラッキングの決定を導くことができます。

これらすべての技術革新により、バックトラッキングアルゴリズムは革命を起こし、さまざまな分野の複雑な問題に対処するための強力で多用途なツールになります。