Αλγόριθμος Backtracking
Τι είναι ο αλγόριθμος Backtracking;
Το Backtracking είναι ένας αλγόριθμος που αναζητά πιθανούς συνδυασμούς προς επίλυση υπολογιστικά προβλήματα. Δημιουργεί σταδιακά υποψηφίους και αφαιρεί αυτούς που δεν ικανοποιούν δεδομένους περιορισμούς. Αυτή η τεχνική είναι πολύ χρήσιμη σε καταστάσεις όπου πρέπει να επιλέξετε μια εφικτή λύση ανάμεσα σε πολλαπλά πιθανά αποτελέσματα.
Αυτός ο αλγόριθμος θεωρείται καλύτερος και πιο αποτελεσματικός από την προσέγγιση Brute Force. Σε αντίθεση με το Bruteforce, το οποίο δοκιμάζει όλες τις πιθανές λύσεις, το Backtracking εστιάζει στην εύρεση μόνο μιας τελικής λύσης σύμφωνα με τις δεδομένες περιορισμούς. Εξοικονομεί επίσης χρόνο και μνήμη αναιρώντας το τελευταίο βήμα (backtrack) και δοκιμάζοντας μια άλλη επιλογή αφού φτάσετε σε αδιέξοδο. Επιπλέον, σταματά μόλις βρεθεί μια έγκυρη λύση.
Το Backtracking είναι μια ευρέως χρησιμοποιούμενη τεχνική γιατί μπορεί να λύσει πολύπλοκα προβλήματα χωρίς εξαντλητική κατανάλωση πόρων. Είναι ιδιαίτερα χρήσιμο για προβλήματα όπου πρέπει να ικανοποιηθούν πολλοί περιορισμοί, όπως το Sudoku, το πρόβλημα n queen και ο προγραμματισμός. Με την έξυπνη πλοήγηση σε πιθανές λύσεις, το backtracking μπορεί να βρει μια απάντηση που να ικανοποιεί όλες τις προϋποθέσεις. Αυτό το καθιστά ανεκτίμητο για εργασίες που απαιτούν ακρίβεια και αποτελεσματικότητα.
Πώς λειτουργεί ο αλγόριθμος Backtracking;
Οι αλγόριθμοι backtracking είναι μια τεχνική επίλυσης προβλημάτων που περιλαμβάνει την εύρεση έγκυρων λύσεων βήμα προς βήμα. Εάν οι περιορισμοί ενός βήματος δεν ικανοποιούν ορισμένες προϋποθέσεις, ο αλγόριθμος επιστρέφει στο προηγούμενο βήμα.
Στη συνέχεια συνεχίζει με άλλους πιθανούς συνδυασμούς που ικανοποιούν τους δεδομένους περιορισμούς. Εφόσον υπάρχουν πολλοί πιθανοί συνδυασμοί, επιλέγει μία από τις πιο ικανοποιητικές επιλογές και λύνει το πρόβλημα διαδοχικά. Αυτή η αλγοριθμική τεχνική είναι χρήσιμη όταν χρειάζεται να επιλύσετε μία ή περισσότερες πιθανές επιλογές. Απόσυρση σημαίνει ακύρωση της επιλογής σας κάθε φορά που προκύπτει μια κατάσταση που δεν δίνει έγκυρη λύση.
Ο αλγόριθμος backtracking έχει γενικά τα ακόλουθα βήματα για την επίλυση ενός προβλήματος:
Βήμα 1) Αρχικοποίηση: Ξεκινήστε με μια αρχική άδεια/μερική λύση.
Βήμα 2) Επιλογή: Με βάση συγκεκριμένα κριτήρια και περιορισμούς, επιλέξτε μία επιλογή για να επεκτείνετε την τρέχουσα λύση.
Βήμα 3) Εξερεύνηση: Επαναληπτική επίλυση εξετάζοντας τον επιλεγμένο υποψήφιο και προχωρώντας στη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων.
Βήμα 4) Έλεγχος περιορισμών: Ελέγξτε εάν η τρέχουσα μερική λύση παραβιάζει τυχόν περιορισμούς σε κάθε βήμα. Εάν ναι, επιστρέψτε στο προηγούμενο βήμα και δοκιμάστε έναν διαφορετικό υποψήφιο.
Βήμα 5) Τερματισμός: Η διαδικασία backtracking σταματά όταν είτε βρεθεί μια έγκυρη λύση είτε όταν εξαντληθούν όλοι οι συνδυασμοί.
Βήμα 6) Backtracking: Εάν η τρέχουσα επιλογή δεν λύσει το δεδομένο πρόβλημα, επιστρέφει στην προηγούμενη κατάσταση. Στη συνέχεια εξετάζει τη νέα επιλογή για να λύσει το δεδομένο πρόβλημα.
Βήμα 7) Επαναλάβετε: Συνεχίστε με αυτά τα βήματα μέχρι να επιλυθεί το πρόβλημα ή να διερευνηθούν όλες οι επιλογές.
Αναδρομική φύση του αλγόριθμου backtracking
Οι αλγόριθμοι backtracking έχουν αναδρομικό χαρακτήρα. Αυτό σημαίνει ότι ο αλγόριθμος καλεί τον εαυτό του με διαφορετικές παραμέτρους μέχρι να βρει μια λύση ή να δοκιμάσει όλες τις πιθανότητες:
def find_solutions(n, other_params): if found_a_solution(): increment_solutions_found() display_solution() if solutions_found >= solution_target: exit_program() return for val in range(first, last+1): if is_valid(val, n): apply_value(val, n) find_solutions(n + 1, other_params) remove_value(val, n)
Κοινοί Όροι που σχετίζονται με Προβλήματα Backtracking
Αυτοί είναι μερικοί βασικοί όροι που σχετίζονται με την τεχνική Backtracking:
- Διάνυσμα λύσης: Αντιπροσωπεύει λύσεις ως n-πλειάδες, όπως (X1, X2, …, Xn).
- Περιορισμοί: Κανόνες που περιορίζουν τις τιμές X, σιωπηρές και ρητές.
- Χώρος Λύσης: Όλες οι έγκυρες τιμές X που ικανοποιούν ρητούς περιορισμούς.
- Κρατικό Διαστημικό Δέντρο: Αντιπροσωπεύει το χώρο λύσης ως δέντρο.
- Κρατικός Χώρος: Περιγράφει μονοπάτια σε ένα διαστημικό δέντρο καταστάσεων.
- Προβληματική κατάσταση: Κόμβοι στο δέντρο αναζήτησης που αντιπροσωπεύουν μερικές λύσεις.
- Λύση κράτη: Καταστάσεις που σχηματίζουν έγκυρες πλειάδες λύσεων στο S.
- Απαντήστε τα κράτη: Ικανοποιήστε σιωπηρούς περιορισμούς και αποδώστε επιθυμητές λύσεις.
- Υποσχόμενος Κόμβος: Οδηγεί σε επιθυμητές λύσεις και παραμένει εφικτή.
- Μη Υποσχόμενος Κόμβος: Οδηγεί σε μη εφικτές καταστάσεις, δεν έχει διερευνηθεί περαιτέρω.
- Ζωντανός Κόμβος: Δημιουργήθηκε με ανεξερεύνητα παιδιά.
- E-Node: Ζωντανός κόμβος με συνεχή δημιουργία παιδιών.
- Νεκρός κόμβος: Δεν δημιουργήθηκε περαιτέρω επέκταση όλων των παιδιών.
- Depth-First Node Generation: Χρησιμοποιεί τον πιο πρόσφατο ζωντανό κόμβο ως τον επόμενο κόμβο E.
- Οριοθέτηση: Μεγιστοποιεί ή ελαχιστοποιεί το B(x1, x2, …, Xa) για βελτιστοποίηση.
- Στατικά δέντρα: Διατύπωση δέντρου ανεξάρτητα από την περίπτωση του προβλήματος.
- Δυναμικά δέντρα: Η σύνθεση δέντρου ποικίλλει ανάλογα με την περίπτωση του προβλήματος.
Πότε να χρησιμοποιήσετε έναν αλγόριθμο backtracking;
Μπορούμε να επιλέξουμε την τεχνική Backtracking για να λύσουμε ένα σύνθετο πρόβλημα όταν:
- Υπάρχουν πολλές επιλογές: Το backtracking είναι κατάλληλο εάν υπάρχουν πολλές επιλογές σε κάθε βήμα της διαδικασίας επίλυσης προβλημάτων. Αυτές οι επιλογές μπορεί να σχετίζονται με την επιλογή αντικειμένων και κινήσεων.
- Καμία ξεκάθαρη καλύτερη επιλογή: Όταν δεν υπάρχουν επαρκείς πληροφορίες για τον προσδιορισμό της καλύτερης επιλογής μεταξύ των διαθέσιμων επιλογών, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένας αλγόριθμος Backtracking.
- Η απόφαση οδηγεί σε περισσότερες επιλογές: Μπορείτε να επιλέξετε το τεχνική backtracking για συστηματική αναθεώρηση των επιλογών.
- Πρέπει να διερευνηθούν όλες οι πιθανές λύσεις: Το Backtracking εξερευνά συστηματικά όλες τις λύσεις λαμβάνοντας μια σειρά αποφάσεων που βασίζονται η μία στην άλλη.
Τύποι προβλημάτων backtracking
Υπάρχουν τρεις τύποι προβλημάτων στους αλγόριθμους backtracking: προβλήματα απόφασης, προβλήματα βελτιστοποίησης και προβλήματα απαρίθμησης. Ας μάθουμε για αυτούς παρακάτω.
- Πρόβλημα απόφασης: Σε αυτό το είδος προβλήματος, ο στόχος είναι να προσδιοριστεί εάν υπάρχει μια εφικτή λύση. Ελέγχουμε τις απαντήσεις «ναι» και «όχι». Για παράδειγμα, το πρόβλημα n-queens. Είναι ένα πρόβλημα απόφασης που εξετάζει την πιθανότητα να τοποθετηθούν n βασίλισσες σε μια n × n σκακιέρα χωρίς να επιτεθούν η μία στην άλλη.
- Πρόβλημα βελτιστοποίησης: Στα προβλήματα βελτιστοποίησης, ο στόχος είναι να βρεθεί η καλύτερη δυνατή λύση ανάμεσα σε πολλές επιλογές. Αυτό μπορεί να περιλαμβάνει τον καθορισμό των μέγιστων και ελάχιστων τιμών μιας συγκεκριμένης συνάρτησης ή μεταβλητής. Για παράδειγμα, εξετάστε το πρόβλημα του σακιδίου πλάτης, όπου ο στόχος είναι να μεγιστοποιήσετε τη συνολική αξία των αντικειμένων στην τσάντα, ενώ τηρείτε το όριο βάρους της.
- Πρόβλημα απαρίθμησης: Στόχος του είναι να βρει όλες τις πιθανές λύσεις σε ένα δεδομένο πρόβλημα. Παραθέτουμε κάθε έγκυρη επιλογή χωρίς καμία παράλειψη. Ένα παράδειγμα θα ήταν η δημιουργία όλων των δυνατών συνδυασμών γραμμάτων από ένα δεδομένο σύνολο χαρακτήρων.
Εφαρμογές Backtracking & Παραδείγματα
Υπάρχουν διάφορες εφαρμογές του Backtracking. Μερικά από αυτά επεξηγούνται παρακάτω με τον ψευδοκώδικά τους.
- Sudoku Solver: Αυτό το πρόβλημα περιέχει ένα υποπλέγμα 3×3 με διπλότυπους αριθμούς. Η τεχνική backtracking θα δείξει ότι η λύση επιστρέφει ψευδής, υποδεικνύοντας την ανάγκη για διαφορετική τοποθέτηση αριθμού.
- Πρόβλημα N-Queen: Η προσέγγιση του backtracking καθορίζει τον τρόπο παρουσίασης βασίλισσες σε μια σκακιέρα N × N έτσι ώστε καμία από αυτές να μην απειλεί η μία την άλλη.
- Πρόβλημα αθροίσματος υποσυνόλου: Χρησιμοποιείται για την εύρεση του υποσυνόλου αριθμών από ένα δεδομένο σύνολο που αθροίζει ένα συγκεκριμένο άθροισμα στόχο.
- Πρόβλημα Κύκλου Χαμιλτονίου: Το Backtracking μπορεί να εφαρμοστεί για να βρείτε μια κλειστή περιήγηση σε ένα γράφημα που επισκέπτεται κάθε κορυφή ακριβώς μία φορά.
- Πρόβλημα αρουραίος στο λαβύρινθο: Η τεχνική backtracking χρησιμοποιείται για την εύρεση της διαδρομής ενός αρουραίου από το σημείο εκκίνησης του λαβύρινθου μέχρι την έξοδο.
function solveSudoku(board): if no empty cells: return true # Sudoku is solved for each empty cell (row, col): for num from 1 to 9: if num is valid in (row, col): place num in (row, col) if solveSudoku(board): return true remove num from (row, col) return false # No valid solution
function solveNQueens(board, col): if col >= N: return true # All queens are placed for each row in the column col: if isSafe(board, row, col): place queen at (row, col) if solveNQueens(board, col + 1): return true remove queen from (row, col) return false # No valid solution in this branch
function subsetSum(nums, target, index, currentSubset): if target == 0: print(currentSubset) # Subset with the target sum found return if index >= len(nums) or target < 0: return currentSubset.add(nums[index]) subsetSum(nums, target - nums[index], index + 1, currentSubset) currentSubset.remove(nums[index]) subsetSum(nums, target, index + 1, currentSubset)
Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα του αλγόριθμου Backtracking
Πλεονεκτήματα του αλγορίθμου Backtracking
Οι τεχνικές backtracking χρησιμοποιούνται για την επίλυση πολύπλοκων προβλημάτων. Έχει πολλά πλεονεκτήματα όπως:
- Η τεχνική backtracking είναι αποτελεσματική για τον χειρισμό περιορισμών.
- Αυτή η μέθοδος είναι καλή για την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης.
- Η τεχνική λειτουργεί για διάφορους τύπους προβλημάτων.
- Αυτή η διαδικασία μπορεί να βοηθήσει στην εξέταση όλων των πιθανών λύσεων.
- Δεδομένου ότι κάνει πίσω, εξοικονομεί περισσότερη μνήμη από την τεχνική Bruteforce.
Μειονεκτήματα του αλγορίθμου Backtracking
Οι τεχνικές backtracking έχουν επίσης ορισμένους περιορισμούς, όπως η χρονική πολυπλοκότητα. Αυτή η τεχνική έχει τα ακόλουθα μειονεκτήματα:
- Δεν υπάρχει εγγυημένη λύση.
- Είναι πιο αργό λόγω πολλών συνδυασμών.
- Έχει μεγάλη χρονική πολυπλοκότητα λόγω πολλών δυνατοτήτων.
- Είναι ακατάλληλο για περιορισμούς σε πραγματικό χρόνο, καθώς η εύρεση της καλύτερης λύσης μπορεί να διαρκέσει πολύ.
- Η αποτελεσματικότητα εξαρτάται από το επίπεδο πολυπλοκότητας του προβλήματος.
Διαφορά μεταξύ Backtracking και Recursion
Αναδρομή | Οπισθοδρόμηση |
---|---|
Καλεί τον εαυτό του μέχρι να φτάσει η βασική περίπτωση. | Χρησιμοποιεί την αναδρομή για να εξετάσει όλες τις πιθανότητες μέχρι να βρεθεί το καλύτερο εφικτό αποτέλεσμα. |
Προσέγγιση από κάτω προς τα πάνω. | Προσέγγιση από πάνω προς τα κάτω. |
Καμία τιμή δεν απορρίπτεται. | Οι μη βιώσιμες λύσεις απορρίπτονται. |
Συμπέρασμα
Το Backtracking είναι μια χρήσιμη αλγοριθμική στρατηγική για την επίλυση σύνθετων προβλημάτων με συστηματική διερεύνηση εφικτών λύσεων και backtracking όταν είναι απαραίτητο. Μπορούμε να περιμένουμε ότι οι τεχνικές backtracking θα ενισχυθούν με βελτιώσεις στην υπολογιστική ισχύ και την αλγοριθμική απόδοση. Αυτές οι εξελίξεις θα τους επιτρέψουν να αντιμετωπίσουν μεγαλύτερα και πιο σύνθετα προβλήματα αποτελεσματικά.
Επιπλέον, τα μοντέλα μηχανικής μάθησης μπορούν να καθοδηγήσουν τις αποφάσεις για την ανάδρομη πορεία που βασίζονται σε μοτίβα που είχαν μάθει προηγουμένως.
Όλες αυτές οι τεχνολογικές καινοτομίες θα φέρουν επανάσταση στους αλγόριθμους backtracking, καθιστώντας τους ένα ισχυρό και ευέλικτο εργαλείο για την αντιμετώπιση περίπλοκων προβλημάτων σε διάφορους τομείς.