Alkutekijän algoritmi: C, Python esimerkki

Mikä on ensisijainen faktorointi?

Luvun alkutekijä on tekijä, joka itse on alkutekijä alkuluku, jaollinen vain ykkösellä ja itsellään.

Esimerkiksi: Luvun 10 alkutekijät ovat 2 ja 5, koska 2 × 5 = 10.

Ensisijaisten tekijöiden löytäminen iteraatiolla

Iteroi luvusta 2 ylöspäin lukuun sqrt(n) ja tarkista jaollisuus. Vaikka n on jaollinen nykyisellä ehdokkaalla, jaa ja tulosta.

Esimerkiksi: jokainen yli 40:n alkuluku sopii n:ään²+n+41, joten n = 0, 1, 2 antaa 41, 43, 47.

Kuinka tulostaa luvun alkutekijä?

• Iteroi lukuja 2:sta sqrt(n):ään asti.
• Tarkista n:n moduuli kutakin ehdokasta vasten; nolla-jäännös tarkoittaa, että ehdokas on alkulukutekijä.
• Kerää kaikki alkuluvut, jotka jakavat n:n.
• Rutiini suoritetaan O(sqrt(n)) aikakompleksisuudessa.

algoritmi:

Set a counter i to 2
While i <= sqrt(n):
    While n % i == 0:
        n = n / i
        print i
    i = i + 1
if n > 1:
    print n

Seula-algoritmi

Sieve-menetelmä tallentaa jokaisen luvun pienimmän alkutekijän maksimirajaan asti, mikä vähentää jyrkästi tekijöihinjaon kustannuksia esilaskennan jälkeen.

• Merkitse muistiin jokaisen kokonaisluvun pienin alkutekijä ylärajaan asti.
• Ota pienin alkuluku ja lisää se tekijäjoukkoon.
• Jaa luku kyseisellä alkuluvulla ja toista, kunnes luku on 1.
• Jokainen kysely suoritetaan noin O(log n):ssä.

Esimerkiksi: Muu alkuluku kuin 2 ja 3 on muotoa 6n⁻¹ tai 6n+1. Esimerkiksi 5 = 6(1)⁻¹ ja 19 = 6(3)+1.

algoritmi: määritellä ryhmä joka tallentaa kunkin luvun pienimmän alkutekijän käyttäen indeksiä jokaisen alkion alkuarvona.

Set array[1] to 1
Set i to 2
While i*i <= max_number:
    If array[i] == i:
        Set j to i*i
        While j <= max_number:
            If array[j] == j:
                array[j] = i
            j = j + i
    i = i + 1
while the_number != 1:
    print array[the_number]
    the_number = the_number / array[the_number]

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Graafin tietorakenne ja Algorithms
• Matkustavan myyjän ongelma
• Bisection Method Algorithm
• Kauhan lajittelualgoritmi

Python Ensisijaiset tekijät iteraatiolla

Seuraavat Python koodi löytää alkutekijät iteratiivisella jakolaskumenetelmällä:

import math
def PrimeFactors(n):
    for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1, 1):
        while n % i == 0:  # find all the occurrences of a prime factor
            print((int)(i))
            n = n // i
    if n != 1:  # if the number was originally a prime
        print((int)(n))
n = (int)(input("Enter the number you want: "))
PrimeFactors(n)

lähtö:

Enter the number you want: 4
2
2

Python Ensisijaiset tekijät rekursiolla

Python Alla oleva koodi käyttää seulamenetelmää tietyn luvun alkulukutekijöiden löytämiseen.

import math
High = (int)(1e5 + 7)
array = [0 for i in range(High)]

# generate smallest prime factors
def Sieve():
    for i in range(1, High):
        array[i] = i
    for i in range(2, math.ceil(math.sqrt(High))):
        if array[i] == i:
            for j in range(i * i, High, i):
                if array[j] == j:
                    array[j] = i

def PrimeFactors(n):  # divide until we reach 1
    if n == 1:
        return
    print((int)(array[n]))
    PrimeFactors((int)(n / array[n]))

Sieve()
n = (int)(input("Enter the number you want: "))
PrimeFactors(n)

lähtö:

Enter the number you want: 4
2
2

C Prime Factors -ohjelma käyttäen iteraatiota

Sama iteratiivinen ratkaisu kirjoitettuna CSyötä luku ja tarkista sitten jokaisen ehdokkaan jaollisuus 2:sta sqrt(n):ään asti ja tulosta kaikki alkulukutekijän esiintymät.

#include <stdio.h>
int main()
{
    int n;
    printf("Enter the number you want: ");
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    {
        while (n % i == 0)  // find all the occurrences of a prime factor
        {
            printf("%d\n", i);
            n /= i;
        }
    }
    if (n != 1)  // if the number was originally a prime
    {
        printf("%d", n);
    }
    return 0;
}

lähtö:

Enter the number you want: 2
2

C Prime Factors -ohjelma, jossa käytetään rekursiota

Rekursiivinen C-versio peilaa Python yksi: muodosta pienimpien alkutekijöiden taulukko ja toista sitten jakaminen tällä tekijällä, kunnes n saavuttaa luvun 1.

#include <stdio.h>
int Max = 100007;
int array[100007];

void Sieve()  // smallest prime factors up to Max
{
    for (int i = 1; i < Max; i++)
        array[i] = i;
    for (int i = 2; i * i <= Max; i++)
    {
        if (array[i] == i)
        {
            for (int j = i * i; j < Max; j += i)
            {
                if (array[j] == j)
                    array[j] = i;
            }
        }
    }
}

void PrimeFactors(int n)
{
    if (n == 1)  // divide until we reach 1
        return;
    printf("%d\n", array[n]);
    PrimeFactors(n / array[n]);
}

int main()
{
    Sieve();
    int n;
    printf("Enter the number you want: ");
    scanf("%d", &n);
    PrimeFactors(n);
    return 0;
}

lähtö:

Enter the number you want: 2
2

Mielenkiintoisia faktoja alkuluvuista

• Mikä tahansa parillinen luku kuin 2 voidaan kirjoittaa kahden alkuluvun summana (4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3).
• Muita peräkkäisiä alkulukuja kuin 2 ja 3 ei ole, koska 2 on ainoa parillinen alkuluku.
• Jokainen alkuluku lukuun 2 ja 3 ei ole muotoa 6n + 1 tai 6n − 1, missä n on positiivinen kokonaisluku.
• Luvun alkutekijöiden joukko on ainutlaatuinen.
• Luku 1 ei ole alkuluku eikä yhdistetty luku.
• Alkulukuihin jakaminen auttaa jaollisuudessa, murtolukujen sieventämisessä ja yhteisten nimittäjien löytämisessä.
• Alkulukujen tekijöihin jakaminen on myös numeropohjaisten kryptografisten koodien perusta.

UKK