Алгоритм простих множників: C, Python Приклад

Що таке розкладання на прості множники?

Простий дільник числа — це дільник, який сам по собі є просте число, ділиться лише на 1 та на самого себе.

приклад: Простими дільниками числа 10 є 2 та 5, оскільки 2 × 5 = 10.

Знаходження простих множників за допомогою ітерації

Ітеруємо від 2 до sqrt(n) та перевіряємо подільність. Якщо n ділиться на поточного кандидата, поділяємо та виводимо.

приклад: кожне просте число більше 40 підходить для n²+n+41, отже, n = 0, 1, 2 дає 41, 43, 47.

Як надрукувати простий множник числа?

• Ітерує числа від 2 до sqrt(n).
• Перевірте модуль n для кожного кандидата; нульовий залишок означає, що кандидат є простим дільником.
• Зберіть усі прості числа, які ділять n.
• Підпрограма виконується з часовою складністю O(sqrt(n)).

Алгоритм:

Set a counter i to 2
While i <= sqrt(n):
    While n % i == 0:
        n = n / i
        print i
    i = i + 1
if n > 1:
    print n

Алгоритм сита

Метод решета зберігає найменший простий дільник кожного числа аж до максимальної межі, різко скорочуючи вартість факторизації після попереднього обчислення.

• Запишіть найменший простий дільник кожного цілого числа до максимальної межі.
• Візьміть це найменше просте число та додайте його до множника.
• Поділіть число на це просте число та повторюйте, доки не отримаєте 1.
• Кожен запит виконується приблизно за O(log n).

приклад: Просте число, відмінне від 2 та 3, відповідає формі 6n-1 або 6n+1. Наприклад, 5 = 6(1)-1 та 19 = 6(3)+1.

Алгоритм: визначити масив який зберігає найменший простий дільник кожного числа, використовуючи індекс як початкове значення для кожного елемента.

Set array[1] to 1
Set i to 2
While i*i <= max_number:
    If array[i] == i:
        Set j to i*i
        While j <= max_number:
            If array[j] == j:
                array[j] = i
            j = j + i
    i = i + 1
while the_number != 1:
    print array[the_number]
    the_number = the_number / array[the_number]

Статті по темі

• Граф Структура даних і Algorithms
• Проблема продавця подорожі
• Алгоритм методу бісекції
• Алгоритм сортування ковша

Python Прості множники за допомогою ітерації

Наступні Python код знаходить прості множники за допомогою ітеративного методу пробного ділення:

import math
def PrimeFactors(n):
    for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1, 1):
        while n % i == 0:  # find all the occurrences of a prime factor
            print((int)(i))
            n = n // i
    if n != 1:  # if the number was originally a prime
        print((int)(n))
n = (int)(input("Enter the number you want: "))
PrimeFactors(n)

вихід:

Enter the number you want: 4
2
2

Python Прості множники за допомогою рекурсії

Команда Python У наведеному нижче коді використовується метод решета для знаходження простих дільників заданого числа.

import math
High = (int)(1e5 + 7)
array = [0 for i in range(High)]

# generate smallest prime factors
def Sieve():
    for i in range(1, High):
        array[i] = i
    for i in range(2, math.ceil(math.sqrt(High))):
        if array[i] == i:
            for j in range(i * i, High, i):
                if array[j] == j:
                    array[j] = i

def PrimeFactors(n):  # divide until we reach 1
    if n == 1:
        return
    print((int)(array[n]))
    PrimeFactors((int)(n / array[n]))

Sieve()
n = (int)(input("Enter the number you want: "))
PrimeFactors(n)

вихід:

Enter the number you want: 4
2
2

C Програма простих множників з використанням ітерації

Таке ж ітераційне рішення, записане в C: введіть число, потім для кожного кандидата від 2 до sqrt(n) перевірте подільність та виведіть кожен екземпляр простого дільника.

#include <stdio.h>
int main()
{
    int n;
    printf("Enter the number you want: ");
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    {
        while (n % i == 0)  // find all the occurrences of a prime factor
        {
            printf("%d\n", i);
            n /= i;
        }
    }
    if (n != 1)  // if the number was originally a prime
    {
        printf("%d", n);
    }
    return 0;
}

вихід:

Enter the number you want: 2
2

C Програма простих множників з використанням рекурсії

Рекурсивна версія на C відображає Python перший: побудувати масив найменших простих множників, а потім рекурсивно ділити на цей множник, доки n не досягне 1.

#include <stdio.h>
int Max = 100007;
int array[100007];

void Sieve()  // smallest prime factors up to Max
{
    for (int i = 1; i < Max; i++)
        array[i] = i;
    for (int i = 2; i * i <= Max; i++)
    {
        if (array[i] == i)
        {
            for (int j = i * i; j < Max; j += i)
            {
                if (array[j] == j)
                    array[j] = i;
            }
        }
    }
}

void PrimeFactors(int n)
{
    if (n == 1)  // divide until we reach 1
        return;
    printf("%d\n", array[n]);
    PrimeFactors(n / array[n]);
}

int main()
{
    Sieve();
    int n;
    printf("Enter the number you want: ");
    scanf("%d", &n);
    PrimeFactors(n);
    return 0;
}

вихід:

Enter the number you want: 2
2

Деякі цікаві факти про прості числа

• Будь-яке парне число, відмінне від 2, можна записати як суму двох простих чисел (4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3).
• Немає послідовних простих чисел, окрім 2 та 3, оскільки 2 — єдине парне просте число.
• Кожне просте число, крім 2 та 3, відповідає вигляду 6n + 1 або 6n − 1, де n — додатне ціле число.
• Множина простих дільників числа унікальна.
• Число 1 не є ні простим, ні складеним числом.
• Розкладання на прості множники допомагає з подільністю, спрощенням дробів та знаходженням спільних знаменників.
• Розкладання на прості множники також лежить в основі криптографічних кодів на основі чисел.

Поширені запитання