Primfaktoralgoritm: C, Python Exempelvis

Vad är en Prime Factorization?

Primtalsfaktorn för ett tal är en faktor som i sig själv är en primtal, endast delbar med 1 och sig själv.

Exempel: Primfaktorerna till 10 är 2 och 5, eftersom 2 × 5 = 10.

Hitta de primära faktorerna med iteration

Iterera från 2 upp till sqrt(n) och kontrollera delbarheten. Medan n är delbart med den aktuella kandidaten, dividera och skriv ut.

Exempel: varje primtal större än 40 passar in i n²+n+41, så n = 0, 1, 2 ger 41, 43, 47.

Hur skriver man ut en primtalsfaktor för ett tal?

• Iterera tal från 2 upp till sqrt(n).
• Kontrollera modulen för n mot varje kandidat; en rest av noll betyder att kandidaten är en primfaktor.
• Samla alla primtal som dividerar n.
• Rutinen körs i O(sqrt(n)) tidskomplexitet.

Algoritm:

Set a counter i to 2
While i <= sqrt(n):
    While n % i == 0:
        n = n / i
        print i
    i = i + 1
if n > 1:
    print n

Sållalgoritm

Siktmetoden lagrar den minsta primfaktorn för varje tal upp till en maximal gräns, vilket kraftigt minskar faktoriseringskostnaden efter förberäkning.

• Anteckna den minsta primfaktorn för varje heltal upp till maxgränsen.
• Ta det minsta primtalet och lägg det till faktormängden.
• Dividera talet med primtalet och upprepa tills det når 1.
• Varje fråga körs i ungefär O(log n).

Exempel: Ett primtal annat än 2 och 3 passar formen 6n-1 eller 6n+1. Till exempel, 5 = 6(1)-1 och 19 = 6(3)+1.

Algoritm: definiera en array som lagrar den minsta primfaktorn för varje tal, med index som initialvärde för varje element.

Set array[1] to 1
Set i to 2
While i*i <= max_number:
    If array[i] == i:
        Set j to i*i
        While j <= max_number:
            If array[j] == j:
                array[j] = i
            j = j + i
    i = i + 1
while the_number != 1:
    print array[the_number]
    the_number = the_number / array[the_number]

Relaterade artiklar

• Graf datastruktur och Algorithms
• Resande säljare Problem
• Bisektionsmetodalgoritm
• Skoksorteringsalgoritm

Python Primära faktorer som använder iteration

Följande Python Koden hittar primfaktorer med hjälp av den iterativa försöksdivisionsmetoden:

import math
def PrimeFactors(n):
    for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1, 1):
        while n % i == 0:  # find all the occurrences of a prime factor
            print((int)(i))
            n = n // i
    if n != 1:  # if the number was originally a prime
        print((int)(n))
n = (int)(input("Enter the number you want: "))
PrimeFactors(n)

Produktion:

Enter the number you want: 4
2
2

Python Primära faktorer som använder rekursion

Ocuco-landskapet Python Koden nedan använder siktmetoden för att hitta primfaktorerna för ett givet tal.

import math
High = (int)(1e5 + 7)
array = [0 for i in range(High)]

# generate smallest prime factors
def Sieve():
    for i in range(1, High):
        array[i] = i
    for i in range(2, math.ceil(math.sqrt(High))):
        if array[i] == i:
            for j in range(i * i, High, i):
                if array[j] == j:
                    array[j] = i

def PrimeFactors(n):  # divide until we reach 1
    if n == 1:
        return
    print((int)(array[n]))
    PrimeFactors((int)(n / array[n]))

Sieve()
n = (int)(input("Enter the number you want: "))
PrimeFactors(n)

Produktion:

Enter the number you want: 4
2
2

C Prime Factors-program med iteration

Samma iterativa lösning skriven i C: ange ett tal, kontrollera sedan delbarheten för varje kandidat från 2 upp till sqrt(n) och skriv ut varje förekomst av en primtalfaktor.

#include <stdio.h>
int main()
{
    int n;
    printf("Enter the number you want: ");
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    {
        while (n % i == 0)  // find all the occurrences of a prime factor
        {
            printf("%d\n", i);
            n /= i;
        }
    }
    if (n != 1)  // if the number was originally a prime
    {
        printf("%d", n);
    }
    return 0;
}

Produktion:

Enter the number you want: 2
2

C Prime Factors-program som använder rekursion

Den rekursiva C-versionen speglar Python ett: bygg en matris av de minsta primfaktorerna, och använd sedan rekursiv dividering med den faktorn tills n når 1.

#include <stdio.h>
int Max = 100007;
int array[100007];

void Sieve()  // smallest prime factors up to Max
{
    for (int i = 1; i < Max; i++)
        array[i] = i;
    for (int i = 2; i * i <= Max; i++)
    {
        if (array[i] == i)
        {
            for (int j = i * i; j < Max; j += i)
            {
                if (array[j] == j)
                    array[j] = i;
            }
        }
    }
}

void PrimeFactors(int n)
{
    if (n == 1)  // divide until we reach 1
        return;
    printf("%d\n", array[n]);
    PrimeFactors(n / array[n]);
}

int main()
{
    Sieve();
    int n;
    printf("Enter the number you want: ");
    scanf("%d", &n);
    PrimeFactors(n);
    return 0;
}

Produktion:

Enter the number you want: 2
2

Några intressanta fakta om primtal

• Alla jämna tal utom 2 kan skrivas som summan av två primtal (4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3).
• Det finns inga på varandra följande primtal förutom 2 och 3, eftersom 2 är det enda jämna primtalet.
• Varje primtal utom 2 och 3 passar formen 6n + 1 eller 6n − 1, där n är ett positivt heltal.
• Mängden primfaktorer för ett tal är unik.
• Talet 1 är varken primtal eller sammansatt.
• Primtalsfaktorisering hjälper till med delbarhet, bråkförenkling och att hitta gemensamma nämnare.
• Primtalsfaktorisering ligger också till grund för talbaserade kryptografiska koder.

Vanliga frågor