Algoritam primarnog faktora: C, Python Primjer

Što je prosta faktorizacija?

Prosti faktor broja je faktor koji je sam po sebi glavni broj, djeljiv samo s 1 i samim sobom.

Primjer: Prosti djelitelji broja 10 su 2 i 5, budući da je 2 × 5 = 10.

Pronalaženje prostih faktora pomoću iteracije

Iteriraj od 2 do sqrt(n) i provjeri djeljivost. Dok je n djeljiv s trenutnim kandidatom, podijeli i ispiši.

Primjer: svaki prosti broj veći od 40 odgovara n²+n+41, pa n = 0, 1, 2 daje 41, 43, 47.

Kako ispisati prosti faktor broja?

• Iteriraj brojeve od 2 do sqrt(n).
• Provjerite modul n u odnosu na svakog kandidata; ostatak nula znači da je kandidat prosti faktor.
• Sakupi sve proste brojeve koji dijele n.
• Rutina se izvršava u vremenskoj složenosti O(sqrt(n)).

Algoritam:

Set a counter i to 2
While i <= sqrt(n):
    While n % i == 0:
        n = n / i
        print i
    i = i + 1
if n > 1:
    print n

Algoritam sita

Metoda sita pohranjuje najmanji prosti faktor svakog broja do maksimalne granice, oštro smanjujući trošak faktorizacije nakon predračuna.

• Zapišite najmanji prosti djelitelj svakog cijelog broja do maksimalne granice.
• Uzmi taj najmanji prosti broj i dodaj ga skupu faktora.
• Podijelite broj s tim prostim brojem i ponavljajte postupak dok ne dođete do 1.
• Svaki upit se izvršava za otprilike O(log n).

Primjer: Prost broj koji nije 2 i 3 odgovara obliku 6n-1 ili 6n+1. Na primjer, 5 = 6(1)-1 i 19 = 6(3)+1.

Algoritam: definirati poredak koja pohranjuje najmanji prosti djelitelj svakog broja, koristeći indeks kao početnu vrijednost za svaki element.

Set array[1] to 1
Set i to 2
While i*i <= max_number:
    If array[i] == i:
        Set j to i*i
        While j <= max_number:
            If array[j] == j:
                array[j] = i
            j = j + i
    i = i + 1
while the_number != 1:
    print array[the_number]
    the_number = the_number / array[the_number]

Vezani članci

• Struktura podataka grafikona i Algorithms
• Problem putujućeg trgovca
• Algoritam metode bisekcije
• Algoritam za sortiranje spremnika

Python Primarni faktori korištenjem iteracije

Sljedeće Python kod pronalazi proste faktore koristeći iterativnu metodu pokušaja i dijeljenja:

import math
def PrimeFactors(n):
    for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1, 1):
        while n % i == 0:  # find all the occurrences of a prime factor
            print((int)(i))
            n = n // i
    if n != 1:  # if the number was originally a prime
        print((int)(n))
n = (int)(input("Enter the number you want: "))
PrimeFactors(n)

Izlaz:

Enter the number you want: 4
2
2

Python Primarni faktori korištenjem rekurzije

The Python Donji kod koristi metodu sita za pronalaženje prostih faktora zadanog broja.

import math
High = (int)(1e5 + 7)
array = [0 for i in range(High)]

# generate smallest prime factors
def Sieve():
    for i in range(1, High):
        array[i] = i
    for i in range(2, math.ceil(math.sqrt(High))):
        if array[i] == i:
            for j in range(i * i, High, i):
                if array[j] == j:
                    array[j] = i

def PrimeFactors(n):  # divide until we reach 1
    if n == 1:
        return
    print((int)(array[n]))
    PrimeFactors((int)(n / array[n]))

Sieve()
n = (int)(input("Enter the number you want: "))
PrimeFactors(n)

Izlaz:

Enter the number you want: 4
2
2

Program C prostih faktora korištenjem iteracije

Isto iterativno rješenje napisano u CUpišite broj, zatim za svakog kandidata od 2 do sqrt(n) provjerite djeljivost i ispišite svaku pojavu prostog djelitelja.

#include <stdio.h>
int main()
{
    int n;
    printf("Enter the number you want: ");
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    {
        while (n % i == 0)  // find all the occurrences of a prime factor
        {
            printf("%d\n", i);
            n /= i;
        }
    }
    if (n != 1)  // if the number was originally a prime
    {
        printf("%d", n);
    }
    return 0;
}

Izlaz:

Enter the number you want: 2
2

Program C prostih faktora korištenjem rekurzije

Rekurzivna C verzija odražava Python Prvo: izgraditi niz najmanjih prostih faktora, a zatim rekurzivno dijeliti tim faktorom dok n ne dosegne 1.

#include <stdio.h>
int Max = 100007;
int array[100007];

void Sieve()  // smallest prime factors up to Max
{
    for (int i = 1; i < Max; i++)
        array[i] = i;
    for (int i = 2; i * i <= Max; i++)
    {
        if (array[i] == i)
        {
            for (int j = i * i; j < Max; j += i)
            {
                if (array[j] == j)
                    array[j] = i;
            }
        }
    }
}

void PrimeFactors(int n)
{
    if (n == 1)  // divide until we reach 1
        return;
    printf("%d\n", array[n]);
    PrimeFactors(n / array[n]);
}

int main()
{
    Sieve();
    int n;
    printf("Enter the number you want: ");
    scanf("%d", &n);
    PrimeFactors(n);
    return 0;
}

Izlaz:

Enter the number you want: 2
2

Nekoliko zanimljivih činjenica o prostim brojevima

• Bilo koji paran broj osim 2 može se zapisati kao zbroj dvaju prostih brojeva (4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3).
• Ne postoje uzastopni prosti brojevi osim 2 i 3, jer je 2 jedini paran prost broj.
• Svaki prosti broj osim 2 i 3 odgovara obliku 6n + 1 ili 6n − 1, gdje je n pozitivan cijeli broj.
• Skup prostih faktora broja je jedinstven.
• Broj 1 nije ni prost ni složen broj.
• Prosta faktorizacija pomaže kod djeljivosti, pojednostavljenja razlomaka i pronalaženja zajedničkih nazivnika.
• Faktorizacija prostih brojeva također je temelj kriptografskih kodova temeljenih na brojevima.

Pitanja i odgovori