Prime Factor Algoritme: C, Python Eksempel

Hva er en Prime Factorization?

Primfaktoren til et tall er en faktor som i seg selv er en primtall, kun delelig med 1 og seg selv.

Eksempel: Primfaktorene til 10 er 2 og 5, siden 2 × 5 = 10.

Finne hovedfaktorene ved hjelp av iterasjon

Iterer fra 2 opp til sqrt(n) og sjekk deleligheten. Når n er delelig med den gjeldende kandidaten, divider og skriv ut.

Eksempel: Hvert primtall større enn 40 passer til n²+n+41, så n = 0, 1, 2 gir 41, 43, 47.

Hvordan skrive ut en primfaktor for et tall?

• Iterer tall fra 2 opp til sqrt(n).
• Sjekk modulen til n mot hver kandidat; en rest på null betyr at kandidaten er en primtallsfaktor.
• Samle alle primtall som deler n.
• Rutinen kjører i O(sqrt(n)) tidskompleksitet.

algoritme:

Set a counter i to 2
While i <= sqrt(n):
    While n % i == 0:
        n = n / i
        print i
    i = i + 1
if n > 1:
    print n

Sil algoritme

Siktmetoden lagrer den minste primfaktoren for hvert tall opp til en maksimal grense, noe som reduserer faktoriseringskostnaden kraftig etter forberegning.

• Registrer den minste primtallsfaktoren for hvert heltall opp til maksimumsgrensen.
• Ta det minste primtallet og legg det til faktorsettet.
• Del tallet med primtallet og gjenta til det når 1.
• Hver spørring kjører i omtrent O(log n).

Eksempel: Et annet primtall enn 2 og 3 passer på formen 6n-1 eller 6n+1. For eksempel er 5 = 6(1)-1 og 19 = 6(3)+1.

algoritme: definere en matrise som lagrer den minste primfaktoren for hvert tall, og bruker indeksen som startverdi for hvert element.

Set array[1] to 1
Set i to 2
While i*i <= max_number:
    If array[i] == i:
        Set j to i*i
        While j <= max_number:
            If array[j] == j:
                array[j] = i
            j = j + i
    i = i + 1
while the_number != 1:
    print array[the_number]
    the_number = the_number / array[the_number]

Relaterte artikler

• Graf datastruktur og Algorithms
• Reisende selgerproblem
• Biseksjonsmetodealgoritme
• Bøttesorteringsalgoritme

Python Hovedfaktorer ved bruk av iterasjon

Følgende Python Koden finner primfaktorer ved hjelp av den iterative prøvedelingsmetoden:

import math
def PrimeFactors(n):
    for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1, 1):
        while n % i == 0:  # find all the occurrences of a prime factor
            print((int)(i))
            n = n // i
    if n != 1:  # if the number was originally a prime
        print((int)(n))
n = (int)(input("Enter the number you want: "))
PrimeFactors(n)

Utgang:

Enter the number you want: 4
2
2

Python Hovedfaktorer ved bruk av rekursjon

Ocuco Python Koden nedenfor bruker silmetoden for å finne primfaktorene til et gitt tall.

import math
High = (int)(1e5 + 7)
array = [0 for i in range(High)]

# generate smallest prime factors
def Sieve():
    for i in range(1, High):
        array[i] = i
    for i in range(2, math.ceil(math.sqrt(High))):
        if array[i] == i:
            for j in range(i * i, High, i):
                if array[j] == j:
                    array[j] = i

def PrimeFactors(n):  # divide until we reach 1
    if n == 1:
        return
    print((int)(array[n]))
    PrimeFactors((int)(n / array[n]))

Sieve()
n = (int)(input("Enter the number you want: "))
PrimeFactors(n)

Utgang:

Enter the number you want: 4
2
2

C Prime Factors-program ved hjelp av iterasjon

Den samme iterative løsningen skrevet i C: skriv inn et tall, og sjekk deretter deleligheten for hver kandidat fra 2 opp til sqrt(n) og skriv ut hver forekomst av en primtallsfaktor.

#include <stdio.h>
int main()
{
    int n;
    printf("Enter the number you want: ");
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    {
        while (n % i == 0)  // find all the occurrences of a prime factor
        {
            printf("%d\n", i);
            n /= i;
        }
    }
    if (n != 1)  // if the number was originally a prime
    {
        printf("%d", n);
    }
    return 0;
}

Utgang:

Enter the number you want: 2
2

C Prime Factors-program som bruker rekursjon

Den rekursive C-versjonen speiler Python en: bygg matrisen med de minste primfaktorene, og bruk deretter rekursjon til å dele med den faktoren til n når 1.

#include <stdio.h>
int Max = 100007;
int array[100007];

void Sieve()  // smallest prime factors up to Max
{
    for (int i = 1; i < Max; i++)
        array[i] = i;
    for (int i = 2; i * i <= Max; i++)
    {
        if (array[i] == i)
        {
            for (int j = i * i; j < Max; j += i)
            {
                if (array[j] == j)
                    array[j] = i;
            }
        }
    }
}

void PrimeFactors(int n)
{
    if (n == 1)  // divide until we reach 1
        return;
    printf("%d\n", array[n]);
    PrimeFactors(n / array[n]);
}

int main()
{
    Sieve();
    int n;
    printf("Enter the number you want: ");
    scanf("%d", &n);
    PrimeFactors(n);
    return 0;
}

Utgang:

Enter the number you want: 2
2

Noen interessante fakta om primtall

• Ethvert partall annet enn 2 kan skrives som summen av to primtall (4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3).
• Det finnes ingen påfølgende primtall annet enn 2 og 3, fordi 2 er det eneste partallet.
• Alle primtall unntatt 2 og 3 passer på formen 6n + 1 eller 6n − 1, hvor n er et positivt heltall.
• Mengden av primfaktorer til et tall er unik.
• Tallet 1 er verken primtall eller sammensatt.
• Primtalsfaktorisering hjelper med delelighet, brøkforenkling og å finne fellesnevnere.
• Primfaktorisering underbygger også tallbaserte kryptografiske koder.

Spørsmål og svar