魔方 – 使用 C 语言和 Python 例子

什么是魔方？

魔方是一种具有特殊数字排列的方阵。这些数字的排列方式使得每条对角线、行和列上的数字之和保持不变。魔方游戏是用于娱乐数学的简单逻辑谜题。

魔方示例：

$魔术广场$

上图是 3 阶魔方的示例。每条对角线、行和列的总和为 15。

魔方阵的工作原理

魔方是由 n^2 个正整数组成的 n*n 矩阵。方阵的行数或列数称为矩阵的阶。

通常，魔方谜题的阶数为奇数，取值范围为 1 到 n^2。每条对角线、行和列的和都相同。这个数字称为魔方和或魔方常数。通常，这个魔方和取决于矩阵的阶数。n 阶魔方和的魔方公式为：

让我们以整数 3 的魔方为例。因此，魔方和将是-

为什么他们被称为魔术师？

古代数学家对几种有趣的数字组合的性质非常着迷。幻方就是其中之一。幻方的最早证据可以追溯到公元前 190 年的中国。

一些研究表明，在古代日本、印度和阿拉伯，存在着魔方拼图的证据。根据一些传说，人们认为这些特殊的数字组合与魔法世界有关。因此，这些方块被称为魔方。

魔方类型

魔方数学有不同的变体——

普通魔方： 这种类型的魔方包含前 n^2 个数字。
半魔方： 在这种类型中，只有行和列的总和等于魔法常数。
简单魔方： 与之前的类型不同，行、列和两个对角线的总和等于魔法常数。
最完美魔方： 这是一个具有两个特殊性质的普通魔方。这里，矩阵中每个 2 x 2 子方格的总和为 2(n^2+1)。任何距离网格 n/2 个方格的数字对的总和为 n^2+1。

根据性质，魔方的种类有很多。但每当我们提到魔方时，我们假设它是一个奇数阶正则简单魔方。

生成魔方的算法

生成奇数阶魔方的算法是：

第一个数字或 1 将存储在 (n/2, n-1) 处，其中第一个坐标是行位置，第二个坐标是列位置。对于后续步骤，我们将此位置表示为 (x, y)。
下一个数字将存储在 (x-1, y+1)。如果位置无效，那么我们将考虑以下情况。
1. 如果行位置为 -1，则会扭曲为 n-1。同样，如果计算出的列位置为 n，则会扭曲为 0。
2. 如果计算的位置已经包含数字，则行位置将增加 1，列位置将减少 2。
3. 如果行位置为 -1 且对应的列位置为 n，则新位置将为 (0, n-2。

请注意： 该算法仅生成奇数阶的有效魔方。我们还认为该魔方是具有前 n^2 个数字的普通魔方。此外，对于相同的 n 值，可以有多个解。

让我们举个例子，看看它是如何工作的。假设我们想找到 3 阶魔方。由于它是一个简单而正常的奇数阶魔方，它将包含从 1 到 3^2 或 9 的所有数字。

如何运作的？

据我们说算法，步骤如下：

步骤1） 第一个数字或 1 将位于 (3/2, 3-1) 或 (1, 2) 位置。按照惯例，在后续步骤中，请考虑 x= 1 和 y= 2。

步骤2） 其余数字的位置将按以下方式计算-

2号的位置：

下一个数字将位于 (x-1, y+1) 或 (0, 3)，这不是有效位置。根据条件 (a)，相应的有效位置将是 (0,0)。因此，x= 0，y= 0。

3号的位置：

数字 3 将位于 (x-1, y+1) 或 (-1, 1)，这不是有效位置。通过使用条件 (a)，有效行位置将是 n-1 或 2。因此，数字 3 将位于 (2, 1)。对于下一个数字，x= 2，y= 1。

4号的位置：

数字 4 应该位于 (x-1, y+1) 或 (1, 2)，这是一个有效位置。但该位置已经包含一个数字。根据条件 (b)，有效位置将是 (1+1, 2-2) 或 (2,0)。对于下一个数字 x= 2，y= 0。

5号的位置：

数字 5 应位于 (x-1, y+1) 或 (1, 1)，这是一个有效位置。对于下一个数字 x= 1，y= 1。

6号的位置：

数字 6 应位于 (x-1, y+1) 或 (0, 2)，这是一个有效位置。对于下一个数字 x= 0，y= 2。

7号的位置：

数字 7 应该位于 (x-1, y+1) 或 (-1, 3)，这不是有效位置。根据条件 (c)，有效位置应为 (0, n-2) 或 (0, 1)。对于下一个数字 x= 0，y= 1。

8号的位置：

数字 8 应位于 (x-1, y+1) 或 (-1, 2)，这不是有效位置。使用条件 (a)，有效位置应为 (2, 2)。对于下一个数字 x= 2，y= 2。

9号的位置：

数字 9 应该位于 (x-1, y+1) 或 (1, 3)，这不是有效位置。根据条件 (a)，有效位置应为 (1, 0)。

伪代码

Begin
	Declare an array of size n*n
	Initialize the array to 0
	Set row = n/2
	Set column = n-1
	For all number i: from 1 to n*n
		If the row = -1 and column = n
			row = 0
			column = n-2
		Else
			If row = -1
				row = n-1
			If column = n
				column = 0
		If the position already contains a number
			decrement column by 2
			increment row by 1
			continue until the position is not 0
		Else
			put the number i into the calculated position
			increment i		
		Increment column value
		Decrement row value
End

C++ 密码魔方

输入：

/*
A C/C++ program for generating odd order magic squares
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

void GenerateMagicSquare(int n)
{
    int magic[n][n];
    //initializing the array
    for(int i=0; i<n; i++)
for(int j=0; j<n; j++)
	        magic[i][j] = 0;
    //setting row and column value
    int i = n / 2;
    int j = n - 1;
    for (int k = 1; k <= n * n;) 
    {
//checking condition (c)
	if (i == -1 && j == n) 
	{
		j = n - 2;
		i = 0;
	}
	else 
	{
		//checking condition (a)
		if (j == n)
			j = 0;
		if (i < 0)
			i = n - 1;
		}
		//checking condition (b)
		if (magic[i][j]) 
		{
			j -= 2;
			i++;
			continue;
		}
		else
		{
		   	//placing the number into the array
		   	magic[i][j] = k; 
			k++;
		}	
		//for the next number setting (i-1, j+1)
		j++;
		i--; 
	}
	//printing the matrix
	for (int i = 0; i < n; i++)
 {
		for (int j = 0; j < n; j++)
			cout << magic[i][j] << "  ";
		cout << endl;
	}	
}
int main()
{
	//This code works for only odd numbers
	int n = 7;
	cout<<"The magic sum is " << n*(n*n+1)/2 <<endl;
	GenerateMagicSquare(n);
	return 0;
}

示例输出：

The magic sum is 175

20  12  4  45  37  29  28
11  3  44  36  35  27  19
2  43  42  34  26  18  10
49  41  33  25  17  9  1
40  32  24  16  8  7  48
31  23  15  14  6  47  39
22  21  13  5  46  38  30

Python 密码魔方

def GenerateMagicSquare(n):
#initializing the array
	magic = [[0 for x in range(n)]
				for y in range(n)]
	#setting row and column value
	i = n // 2
	j = n - 1
	k = 1
	while k <= (n * n):
	    #checking condition (c)
		if i == -1 and j == n: 
			j = n - 2
			i = 0
		else:
			#checking condition (a)
			if j == n:
				j = 0
			if i < 0:
				i = n - 1
        #checking conditon (b)
		if magic[i][j]: 
			j = j - 2
			i = i + 1
			continue
		else:
		    #placing the number into the array
			magic[i][j] = k
			k = k + 1
        #for the next number setting (i-1, j+1)
		j = j + 1
		i = i - 1 
	#printing the matrix
	for i in range(0, n):
		for j in range(0, n):
			print('%2d ' % (magic[i][j]),end='')
			if j == n - 1:
				print()
#This code works for only odd numbers
n = 7
print("The magic sum is ",n * (n * n + 1) // 2, "\n")
GenerateMagicSquare(n)