Segitiga Pascal – Rumus, Pola & Contoh
Sarah Chen
Apa itu Segitiga Pascal?
Segitiga Pascal adalah susunan angka berbentuk segitiga yang diikuti oleh pola tertentu dan hubungan dengan baris sebelumnya. Segitiga ini ditemukan oleh Blaise Pascal. Segitiga ini dimulai dengan satu elemen pada baris pertama. Setelah itu, setiap baris dimulai dan diakhiri dengan “1”.
Sejarah Segitiga Pascal
Buku berbahasa Mandarin “Sembilan Bab tentang Seni Matematika” berisi salah satu contoh pertama Segitiga Pascal. Selain itu, ini berisi beberapa pola dan kualitas yang sama yang ditemukan pada segitiga saat ini.
Pascal adalah salah satu dari beberapa orang di Eropa yang mempelajari segitiga. Matematikawan lain telah meneliti susunan bilangan segitiga serupa sebelum dia.
Konstruksi Segitiga Pascal
Membangun Segitiga Pascal itu sederhana. Satu-satunya hal yang perlu Anda ingat adalah bahwa Baris dimulai dan diakhiri dengan 1. Aturan untuk angka-angka lainnya adalah sebagai berikut:
Untuk setiap baris r dan kolom c, bilangan tersebut merupakan jumlah kolom c-1 dan c dari Baris r-1.
Di sini,
- r = 3,4,5….
- n dan c = 2,3,4,…r-1.
Berikut langkah-langkah membangun Segitiga Pascal:
Langkah 1) Mari kita mulai dengan mengisi dua baris.
Langkah 2) Elemen kedua pada baris ketiga adalah jumlah angka pertama dan kedua pada baris kedua.
Langkah 3) Baris keempat akan dimulai dengan “1.”. Angka kedua adalah 3, yang merupakan jumlah dari 1 dan 2 (disorot dengan warna biru).
Gambar di bawah menunjukkan cara mengisi Baris keempat:
Langkah 4) Baris kelima akan terdiri dari lima angka. Kita sudah mengetahui pola pengisian baris dari langkah sebelumnya.
Rumus Segitiga Pascal – Koefisien Binomial
Koefisien binomial adalah bilangan yang menyatakan metode berbeda untuk memilih subset k elemen dari kumpulan n elemen. Seringkali ditulis sebagai “C(n,k)” atau “n pilih k.”
Koefisien binomial didefinisikan sebagai
Tanda “!” menunjukkan "faktorial".
N! = n.(n-1). (n-2)…3.2.1
Sebagai contoh,
5! = 5.4.3.2.1
= 120
Jadi, misalkan C(5,3) atau 5 pilih 3 = 5! / 3!(5-3)!
= 120/(12)
= 10
Metode 1: Membangun Segitiga Pascal dengan Baris sebelumnya
Langkah-langkah dalam prosedur ini sama dengan langkah-langkah pada segitiga Pascal. Katakanlah kita ingin membuat segitiga Pascal hingga tujuh baris.
Langkah-langkah untuk mewujudkannya adalah sebagai berikut:
Langkah 1) Mulai Baris paling atas dengan "1".
Langkah 2) Untuk baris “r”, item “c” akan menjadi hasil kali “c-1” dan “c” nomor baris “r-1”.
Langkah 3) Angka pertama dan terakhir dalam satu baris akan selalu “1”.
Kita harus mengikuti tiga langkah mudah ini untuk membuat segitiga Pascal.
C++ Kode Segitiga Pascal pada Baris Sebelumnya
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void printRow(int n)
{
int numbers[n][n];
for (int row = 0; row < n; row++)
{
for (int col = 0; col <= row; col++)
{
if (col == 0 || col == row)
{
numbers[row][col] = 1;
}
else
{
numbers[row][col] = numbers[row - 1][col - 1] + numbers[row - 1][col];
}
cout << numbers[row][col] << "\t";
}
cout << endl;
}
}
int main()
{
int n;
cout << "How many rows: ";
cin >> n;
printRow(n);
}
Keluaran:
How many rows: 7 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
Python Kode Rumus Segitiga Pascal pada Baris Sebelumnya
def printRow(n):
numbers = [[0 for row in range(n)]
for col in range(n)
]
for row in range(len(numbers)):
for col in range(0, row+1):
if row == col or col == 0:
numbers[row][col] = 1
else:
numbers[row][col] = numbers[row-1][col-1]+numbers[row-1][col]
print(numbers[row][col],end="\t")
print("\n")
n = int(input("How many rows: "))
printRow(n)
Keluaran Contoh Segitiga Pascal:
How many rows: 7 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
Analisis Kompleksitas
A array dua dimensi digunakan dalam implementasinya. Diketahui N adalah banyaknya baris pada segitiga Pascal. Ini akan membutuhkan N2 ruang satuan. Oleh karena itu, O akan menjadi kompleksitas ruang (N2).
Kita memiliki dua loop dalam fungsi tersebut, dan setiap loop berjalan sebanyak “N” kali. Jadi, kompleksitas waktunya juga DI2) atau kompleksitas waktu kuadrat.
Metode 2: Membangun Segitiga Pascal dengan Menghitung Koefisien Binomial
Kita cukup menurunkan bilangan segitiga pascal dengan menggunakan koefisien binomial. Berikut diagramnya:
Berikut langkah-langkah membangun Segitiga Pascal dengan menghitung Binomial:
Langkah 1) Baris paling atas adalah C(0,0). Menggunakan rumus Koefisien Binomial di atas, C(0,0) = 1. Karena 0! = 1.
Langkah 2) Untuk baris “i”, akan ada total elemen “i”. Setiap item akan dihitung C(n,r) dimana n akan menjadi i-1.
Langkah 3) Ulangi langkah 2 untuk jumlah baris yang Anda inginkan untuk segitiga pascal.
C++ Segitiga Kode Pascal dengan Koefisien Binomial
#include <iostream>
using namespace std;
int factorial(int n)
{
int result = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
result *= i;
}
return result;
}
int binomialCoefficient(int n, int r)
{
int result = 1;
if (r > n)
{
return -1;
}
result = factorial(n) / (factorial(r) * factorial(n - r));
return result;
}
void printPascalTriangle(int row)
{
for (int i = 0; i <= row; i++)
{
for (int j = 0; j <= i; j++)
{
cout << binomialCoefficient(i, j) << "\t";
}
cout << endl;
}
}
int main()
{
int n;
cout << "Enter row number: ";
cin >> n;
printPascalTriangle(n);
}
Keluaran:
Enter row number: 9 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Python Segitiga Kode Pascal dengan Koefisien Binomial
def factorial(n):
result = 1
for i in range(1,n+1):
result*=i
return result
def binomialCoefficient(n,r):
result =1
if r>n:
return None
result = factorial(n) / (factorial(r) * factorial(n - r))
return int(result)
def printPascalTriangle(row):
for i in range(row+1):
for j in range(i+1):
print(binomialCoefficient(i, j), end="\t")
print()
# print(binomialCoefficient(3, 2))
n = int(input("Enter row number: "))
printPascalTriangle(n)
Keluaran Contoh Segitiga Pascal:
Enter row number: 8 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1
Analisis Kompleksitas
Tiga loop digunakan dalam implementasi. Satu loop untuk menghitung koefisien Binomial, dan dua lainnya untuk membuat angka untuk semua baris. Mengenai jumlah baris, kita memiliki tiga loop yang mengeksekusi “n” kali. Akibatnya, kompleksitas waktu keseluruhan akan menjadi 0(n)3).
Kompleksitas ruang sekarang konstan karena kita tidak menyimpan data apa pun di penyimpanan. Program menghitung elemen, dan elemen tersebut dicetak dalam satu baris. Kompleksitas ruang kemudian berkurang menjadi 0(1).
Metode 3: Membangun Segitiga Pascal dengan Koefisien Binomial yang Dimodifikasi
Pada teknik sebelumnya, kita telah melihat bagaimana menggunakan koefisien binomial untuk menghitung setiap elemen segitiga Pascal. Pendekatan ini akan menentukan C(n,r) dari C. (n, r-1). Ini akan menyederhanakan banyak hal dengan satu urutan.
Berikut langkah-langkah membangun Segitiga Pascal dengan Modifikasi Koefisien Binomial:
Langkah 1) Mulailah Baris pertama dengan “1”
Langkah 2) Hitung C(n,r), dengan “n” adalah nomor baris dan “r” adalah kolom atau elemen. Tetapkan nilai dalam variabel C.
Langkah 3) Untuk menghitung C(n,k), menjadi C*(nk)/k. Sekarang, tetapkan nilai ini ke C.
Langkah 4) Lanjutkan langkah 3 hingga “k” mencapai akhir Baris. Setelah setiap iterasi, nilai K bertambah satu.
C++ Kode Segitiga Pascal dengan Koefisien Binomial yang dimodifikasi
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void printpascalTriangle(int n)
{
for (int row = 1; row <= n; row++)
{
int previous_coef = 1;
for (int col = 1; col <= row; col++)
{
cout << previous_coef << "\t";
previous_coef = previous_coef * (row - col) / col;
}
cout << endl;
}
}
int main()
{
int n;
cout << "How many rows: ";
cin >> n;
printpascalTriangle(n);
}
Keluaran:
How many rows: 5 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
Python kode Segitiga Pascal dengan Koefisien Binomial yang dimodifikasi
def printpascalTriangle(n):
for row in range(1, n+1):
previous_coef = 1
for col in range(1, row+1):
print(previous_coef, end="\t")
previous_coef = int(previous_coef*(row-col)/col)
print()
n = int(input("How many rows: "))
printpascalTriangle(n)
Keluaran Pola Segitiga Pascal:
How many rows: 5 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
Analisis Kompleksitas
Implementasinya memiliki dua loop. Setiap loop berjalan maksimal selama “n” waktu, dimana “n” berarti jumlah baris dalam segitiga pascal. Jadi, kompleksitas waktunya adalah Di2), waktu kuadrat.
Mengenai kompleksitas ruang, kita tidak memerlukan array apa pun untuk disimpan. Kita hanya menggunakan satu variabel untuk menyimpan koefisien binomial sebelumnya. Jadi, kita hanya memerlukan satu ruang tambahan. Kompleksitas ruang menjadi O (1).
Penerapan Segitiga Pascal
Berikut beberapa penerapan Segitiga Pascal:
Ekspansi Binomial: Kita dapat menentukan koefisien muai binomial dari segitiga pascal. Berikut ini contohnya:
| (x + y)0 | 1 |
| (x + y)1 | 1.x+ 1.y |
| (x + y)2 | 1x2 + 2xy+ 1y2 |
| (x + y)3 | 1x3 + 3x2dan + 3xy2 + 1y3 |
| (x + y)4 | 1x4 + 4x3dan + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4 |
Menghitung Kombinasi: Kita telah melihat elemen-elemen segitiga Pascal setara dengan koefisien binomial. Misal anda punya 6 bola dan disuruh memilih 3 bola, maka jadilah bola tersebut 6C3. Atau, Anda dapat mencari bilangan pada elemen ke-3 Baris ke-6 dari segitiga pascal.
Fakta Menarik Tentang Segitiga Pascal
Berikut beberapa fakta menarik tentang segitiga Pascal:
- Jumlah semua elemen dalam satu baris selalu pangkat 2.
- Jumlah elemen baris secara diagonal menghasilkan deret Fibonacci.
Ringkasan
- Segitiga Pascal memberikan koefisien Ekspansi Binomial.
- Setiap Baris segitiga pascal dimulai dan diakhiri dengan “1”. Nilai antara adalah jumlah dua elemen pada baris sebelumnya.
- Penjumlahan diagonal semua elemen dalam segitiga pascal akan menghasilkan Urutan Fibonacci.
- Segitiga Pascal juga dapat dihasilkan dengan Koefisien binomial.
