Решето Ератосфена в Python & C++
Сара Чен
⚡ Розумний підсумок
Решето Ератосфена — це класичний алгоритм простих чисел, який фільтрує складені числа шляхом ітеративного позначення кратних кожного простого числа, залишаючи лише прості числа в межах вибраної верхньої межі для швидкого пошуку.
Що таке решето Ератосфена?
Решето Ератосфена — це найпростіше решето простих чисел. Це алгоритм пошуку простих чисел, який використовується для знаходження кожного простого числа в заданій межі. Існує кілька решетів простих чисел, зокрема Решето Ератосфена, Решето Аткіна та Решето Сундарама.
Слово "решето«позначає посуд, який фільтрує речовини. У тому ж дусі алгоритм сита в Python та інші мови посилаються на метод, який фільтрує прості числа зі списку цілих чисел.
Цей алгоритм фільтрує прості числа за допомогою ітераційного підходу. Процес фільтрації починається з найменшого простого числа. Просте число — це натуральне число, більше за 1, яке має лише два дільники, а саме 1 та саме число. Numbers які не є простими числами, називаються складеними числами.
Навіщо використовувати решето Ератосфена?
У методі «Решета Ератосфена» спочатку вибирається мале просте число, а потім відфільтровуються всі його кратні. Процес виконується в циклі в заданому діапазоні, ефективно генеруючи кожне просте число до n без виконання пробного ділення на кожному кандидаті.
Це робить решето швидшим, ніж перевірка простоти по одному числу за раз. Воно широко використовується в теорії чисел, криптографії, хешуванні та конкурентному програмуванні, де необхідно швидко згенерувати багато простих чисел.
Наприклад:
Візьмемо діапазон чисел від 2 до 10.
Після застосування Решета Ератосфена, воно видасть список простих чисел 2, 3, 5, 7.
Алгоритм Решето Ератосфена
Ось алгоритм для Решета Ератосфена:
Крок 1) Створіть список чисел від 2 до заданого діапазону n. Почнемо з 2, оскільки це найменше та перше просте число.
Крок 2) Виберіть найменше число у списку, x (спочатку x дорівнює 2), перейдіть по списку та відфільтруйте відповідні складені числа, позначивши всі кратні вибраного числа.
Крок 3) Потім виберіть наступне просте або найменше непозначене число у списку та повторіть крок 2.
Крок 4) Повторюйте попередній крок, доки значення x не стане меншим або рівним квадратному кореню з n (x <=
).
Примітка: Математичні міркування досить прості. Числовий діапазон n можна розкласти на множники так:
n = a * b
Знову n = *
= (фактор менше, ніж ) * (фактор більше ніж )
Отже, принаймні один із основні фактори або обидва мають бути <= Отже, проходячи до буде достатньо.
Крок 5) Після цих чотирьох кроків решта непозначених чисел будуть усіма простими числами в заданому діапазоні n.
Розроблений приклад
приклад:
Давайте розглянемо приклад і подивимося, як це працює.
У цьому прикладі ми знайдемо список простих чисел від 2 до 25. Отже, n = 25.
Крок 1) На першому кроці ми візьмемо список чисел від 2 до 25, оскільки ми вибрали n = 25.
Крок 2) Потім ми вибираємо найменше число зі списку, x. Спочатку x = 2, оскільки це найменше просте число. Потім ми переглядаємо список і позначаємо числа, кратні 2.
Числа, кратні 2 для заданого значення n: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24.
Примітка: Синім кольором позначено вибране число, а рожевим – виключені кратні.
Крок 3) Потім ми вибираємо наступне найменше непозначене число, яке дорівнює 3, і повторюємо останній крок, позначаючи кратні 3.
Крок 4) Повторюємо крок 3 таким самим чином, доки x = 
або 5.
Крок 5) Решта непозначених чисел – це прості числа від 2 до 25.
Псевдо-Code
Наведений нижче псевдокод фіксує базову структуру Решета Ератосфена, перш ніж ми переведемо її у фактичний код.
Begin
Declare a boolean array of size n and initialize it to true
For all numbers i : from 2 to sqrt(n)
IF bool value of i is true THEN
i is prime
For all multiples of i (i<n)
mark multiples of i as composite
Print all unmarked numbers
End
Решето Ератосфена C/C++ Code Приклад
Нижче наведено повний C++ реалізація Решета Ератосфена, яке друкує кожне просте число до вибраної верхньої межі.
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
void Sieve_Of_Eratosthenes(int n)
{
// Create and initialize a boolean array
bool primeNumber[n + 1];
memset(primeNumber, true, sizeof(primeNumber));
for (int j = 2; j * j <= n; j++) {
if (primeNumber[j] == true) {
// Update all multiples of i as false
for (int k = j * j; k <= n; k += j)
primeNumber[k] = false;
}
}
for (int i = 2; i <= n; i++)
if (primeNumber[i])
cout << i << " ";
}
int main()
{
int n = 25;
Sieve_Of_Eratosthenes(n);
return 0;
}
вихід:
2 3 5 7 11 13 17 19 23
Решето Ератосфена Python Приклад програми
Наступні Python Програма реалізує той самий алгоритм, використовуючи булевий список та цикл while.
def SieveOfEratosthenes(n): # Create a boolean array primeNumber = [True for i in range(n+2)] i = 2 while (i * i <= n): if (primeNumber[i] == True): # Update all multiples of i as false for j in range(i * i, n+1, i): primeNumber[j] = False i += 1 for i in range(2, n): if primeNumber[i]: print(i) n = 25 SieveOfEratosthenes(n)
вихід:
2 3 5 7 11 13 17 19 23
Сегментоване сито
Ми бачили, що решето Ератосфена проходить цикл через увесь діапазон чисел. Тому для зберігання чисел йому потрібно O(n) місця в пам'яті. Ситуація ускладнюється, коли ми намагаємося знайти прості числа у величезному діапазоні, оскільки неможливо виділити такий великий блок пам'яті для більшого n.
Алгоритм можна оптимізувати, додавши деякі нові функції. Ідея полягає в тому, щоб розділити діапазон чисел на менші сегменти та обчислити прості числа в цих сегментах один за іншим. Це ефективний спосіб зменшити складність простору. Цей метод називається a сегментоване сито.
Оптимізації можна досягти наступним чином:
- За допомогою простого сита знайдіть прості числа від 2 до
і зберігати їх у масиві. - Розділіть діапазон [0…n-1] на декілька сегментів розміром щонайбільше .
- Для кожного відрізка переберіть його та позначте кратні простих чисел, знайдених на кроці 1. Цей крок вимагає O() максимум.
Для звичайного сита потрібно O(n) допоміжного простору пам’яті, тоді як для сегментованого сита потрібно O(), що є суттєвим покращенням для великого n. Цей метод також має недолік, оскільки він не покращує часову складність.
Аналіз складності
Розуміння як просторової, так і часової складності допомагає вам вибрати між звичайним решетом і сегментованим решетом для заданого розміру задачі.
Складність простору:
Простий алгоритм «Решета Ератосфена» вимагає O(n) пам'яті. Сегментоване решето вимагає O() допоміжне приміщення.
Складність часу:
Часова складність регулярного алгоритму Решета Ератосфена становить O(n*log(log(n))). Обґрунтування цієї складності обговорюється нижче.
Для заданого числа n час, необхідний для позначки складеного числа (тобто не простого числа), є постійним. Отже, кількість разів виконання циклу дорівнює:
n/2 + n/3 + n/5 + n/7 + ……∞
= n * (1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +…….∞)
Гармонічну прогресію суми простих чисел можна вивести як log(log(n)):
(1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +…….∞) = log(log(n))
Отже, часова складність буде:
T(n) = n * (1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ……∞)
= n * log(log(n))
Таким чином, часова складність становить O(n * log(log(n))).
Далі ви дізнаєтесь про Трикутник Паскаля.
