Fórmula do Triângulo de Pascal com Exemplos
Equipe editorial
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O Triângulo de Pascal é um arranjo triangular de números onde cada valor é igual à soma dos dois números diretamente acima dele, revelando padrões profundos em combinatória, expansões binomiais e probabilidade que fascinam os matemáticos há séculos.
O que é o Triângulo de Pascal?
O Triângulo de Pascal é uma matriz triangular de números que segue um padrão simples baseado na linha acima. Foi popularizado pelo matemático francês Blaise Pascal no século XVII. O triângulo começa com um único "1" no topo, e cada linha subsequente também começa e termina com "1".
Para além de sua forma elegante, o Triângulo de Pascal codifica relações matemáticas profundas. Está intimamente ligado ao teorema binomial, à contagem combinatória e à probabilidade, razão pela qual aparece em aulas de álgebra, estatística e ciência da computação em todo o mundo.
História do Triângulo de Pascal
Embora tenha recebido o nome de Blaise Pascal, o triângulo é anterior a ele em séculos. O texto matemático chinês "Os Nove Capítulos da Arte Matemática" contém um dos primeiros exemplos conhecidos, exibindo muitos dos mesmos padrões que usamos hoje.
O matemático persa Al-Karaji e o estudioso indiano PingAla também explorou arranjos semelhantes. Pascal formalizou as propriedades do triângulo em seu tratado de 1654, "Traité du triangle arithmétique", que deu à estrutura seu nome moderno na matemática ocidental.
Construção do Triângulo de Pascal
Construir o Triângulo de Pascal é simples. A única regra a lembrar é que cada linha começa e termina com 1, e todos os outros números são construídos a partir da linha acima.
Para qualquer linha r e coluna c, o valor é igual à soma dos números nas colunas c-1 e c da linha r-1.
Aqui,
- r = 3, 4, 5, …
- n e c = 2, 3, 4, …, r-1.
Aqui estão os passos para construir o Triângulo de Pascal:
Passo 1) Comece preenchendo as duas primeiras linhas.
Passo 2) O segundo elemento da terceira linha é a soma do primeiro e do segundo números da segunda linha.
Passo 3) A quarta linha começa com “1”. O segundo número é 3, que é a soma de 1 e 2 (destacado em azul).
A imagem abaixo mostra como preencher a quarta linha:
Passo 4) A quinta linha consiste em cinco números. Já conhecemos o padrão para preencher as linhas a partir das etapas anteriores.
Fórmula do Triângulo de Pascal – Coeficiente Binomial
Um coeficiente binomial conta o número de maneiras de escolher um subconjunto de k elementos de uma coleção de n elementos. É comumente escrito como “C(n, k)” ou “n escolhe k”.
O coeficiente binomial é definido como:
O símbolo “!” representa o fatorial de um número.
n! = n.(n-1).(n-2)…3.2.1
Por exemplo, nos
5! = 5.4.3.2.1
= 120
Portanto, C(5, 3) ou “5 escolhe 3” = 5! / 3!(5-3)!
= 120 / 12
= 10
Método 1: Construindo o Triângulo de Pascal pela Linha Anterior
O procedimento aqui espelha a forma como desenhamos o triângulo manualmente. Suponha que queiramos gerar o triângulo de Pascal com até sete linhas.
Os passos para isso são os seguintes:
Passo 1) Comece a linha superior com “1”.
Passo 2) Para a linha “r”, o elemento “c” será a soma da coluna “c-1” com a coluna “c” da linha “r-1”.
Passo 3) O primeiro e o último número de cada linha serão sempre “1”.
Seguindo esses três passos simples, podemos construir sistematicamente todo o triângulo.
C++ Code do Triângulo de Pascal pela Linha Anterior
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; void printRow(int n) { int numbers[n][n]; for (int row = 0; row < n; row++) { for (int col = 0; col <= row; col++) { if (col == 0 || col == row) { numbers[row][col] = 1; } else { numbers[row][col] = numbers[row - 1][col - 1] + numbers[row - 1][col]; } cout << numbers[row][col] << "\t"; } cout << endl; } } int main() { int n; cout << "How many rows: "; cin >> n; printRow(n); }
Saída:
How many rows: 7 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
Python Code da fórmula do triângulo de Pascal pela linha anterior
def printRow(n): numbers = [[0 for row in range(n)] for col in range(n) ] for row in range(len(numbers)): for col in range(0, row+1): if row == col or col == 0: numbers[row][col] = 1 else: numbers[row][col] = numbers[row-1][col-1]+numbers[row-1][col] print(numbers[row][col],end="\t") print("\n") n = int(input("How many rows: ")) printRow(n)
Resultado do exemplo do triângulo de Pascal:
How many rows: 7 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
Análise de Complexidade
A matriz bidimensional é utilizado nesta implementação. Dado que N é o número de linhas no triângulo de Pascal, isso requer N2 espaços unitários. Portanto, a complexidade espacial é O(N2).
A função utiliza dois loops aninhados, cada um executado até “N” vezes. Portanto, a complexidade de tempo também é O(N). SOBRE2)ou complexidade de tempo ao quadrado.
Método 2: Construindo o Triângulo de Pascal através do Cálculo do Coeficiente Binomial
Podemos derivar os números do triângulo de Pascal diretamente usando coeficientes binomiais. O diagrama abaixo ilustra essa relação:
Aqui estão os passos para construir o Triângulo de Pascal calculando o coeficiente binomial:
Passo 1) A linha superior é C(0, 0). Usando a fórmula acima, C(0, 0) = 1, porque 0! = 1.
Passo 2) Para a linha “i”, haverá um total de “i” elementos. Cada item é calculado como C(n, r), onde n é i-1.
Passo 3) Repita o passo 2 para quantas linhas do triângulo de Pascal você desejar gerar.
C++ Code Triângulo de Pascal por Coeficiente Binomial
#include <iostream> using namespace std; int factorial(int n) { int result = 1; for (int i = 1; i <= n; i++) { result *= i; } return result; } int binomialCoefficient(int n, int r) { int result = 1; if (r > n) { return -1; } result = factorial(n) / (factorial(r) * factorial(n - r)); return result; } void printPascalTriangle(int row) { for (int i = 0; i <= row; i++) { for (int j = 0; j <= i; j++) { cout << binomialCoefficient(i, j) << "\t"; } cout << endl; } } int main() { int n; cout << "Enter row number: "; cin >> n; printPascalTriangle(n); }
Saída:
Enter row number: 9 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Python Code Triângulo de Pascal por Coeficiente Binomial
def factorial(n): result = 1 for i in range(1,n+1): result*=i return result def binomialCoefficient(n,r): result =1 if r>n: return None result = factorial(n) / (factorial(r) * factorial(n - r)) return int(result) def printPascalTriangle(row): for i in range(row+1): for j in range(i+1): print(binomialCoefficient(i, j), end="\t") print() # print(binomialCoefficient(3, 2)) n = int(input("Enter row number: ")) printPascalTriangle(n)
Resultado do exemplo do triângulo de Pascal:
Enter row number: 8 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1
Análise de Complexidade
Nesta implementação, são utilizados três laços de repetição: um para calcular o coeficiente binomial e dois para iterar por cada linha e coluna. Considerando o número de linhas, os três laços são executados até "n" vezes. Consequentemente, a complexidade de tempo total é O(n).3).
A complexidade de espaço é constante porque não armazenamos nenhum resultado intermediário. O programa calcula cada elemento dinamicamente e o imprime em uma única linha, portanto a complexidade de espaço se reduz a O(n log n). O (1).
Método 3: Construindo o Triângulo de Pascal por Coeficiente Binomial Modificado
Na técnica anterior, usávamos a fórmula do coeficiente binomial para calcular cada elemento. A abordagem modificada deriva C(n, r) diretamente de C(n, r-1), reduzindo o trabalho em uma ordem de magnitude.
Aqui estão os passos para construir o Triângulo de Pascal usando o coeficiente binomial modificado:
Passo 1) Inicie a primeira linha com “1”.
Passo 2) Calcule C(n, r), onde “n” é o número da linha e “r” é o índice da coluna. Atribua esse valor a uma variável C.
Passo 3) Para calcular o próximo coeficiente, use C * (n – k) / k. Atribua esse novo valor de volta a C.
Passo 4) Continue o passo 3 até que “k” chegue ao final da linha. Após cada iteração, incremente k em um.
C++ Code para o Triângulo de Pascal por Coeficiente Binomial Modificado
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; void printpascalTriangle(int n) { for (int row = 1; row <= n; row++) { int previous_coef = 1; for (int col = 1; col <= row; col++) { cout << previous_coef << "\t"; previous_coef = previous_coef * (row - col) / col; } cout << endl; } } int main() { int n; cout << "How many rows: "; cin >> n; printpascalTriangle(n); }
Saída:
How many rows: 5 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
Python Code para o Triângulo de Pascal por Coeficiente Binomial Modificado
def printpascalTriangle(n): for row in range(1, n+1): previous_coef = 1 for col in range(1, row+1): print(previous_coef, end="\t") previous_coef = int(previous_coef*(row-col)/col) print() n = int(input("How many rows: ")) printpascalTriangle(n)
Saída dos padrões triangulares de Pascal:
How many rows: 5 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
Análise de Complexidade
A implementação utiliza dois loops, cada um executando no máximo “n” vezes, onde “n” é o número de linhas no triângulo. Portanto, a complexidade de tempo é O(n log n). Sobre2), tempo ao quadrado.
Em relação à complexidade de espaço, não precisamos de nenhum array para armazenamento. Usamos apenas uma variável para armazenar o coeficiente binomial anterior, portanto, precisamos de apenas um espaço adicional. A complexidade de espaço é, portanto, O(n log n). O (1).
Aplicação do Triângulo de Pascal
Aqui estão algumas aplicações práticas do Triângulo de Pascal:
Expansões binomiais: Os coeficientes de qualquer expansão binomial podem ser lidos diretamente do triângulo de Pascal. Aqui está um exemplo:
| (x + y)0 | 1 |
| (x + y)1 | 1.x + 1.y |
| (x + y)2 | 1x2 + 2xy + 1y2 |
| (x + y)3 | 1x3 + 3x2e + 3xy2 + 1y3 |
| (x + y)4 | 1x4 + 4x3e + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4 |
Calculando Combinações: Os elementos do triângulo de Pascal correspondem diretamente aos coeficientes binomiais. Por exemplo, se você tem 6 bolas e quer escolher 3, a resposta é 6C3Você pode encontrar esse valor no terceiro elemento da sexta linha do triângulo de Pascal.
Probabilidade: O Triângulo de Pascal é amplamente utilizado para calcular probabilidades em lançamentos de moedas, problemas com dados e outros eventos combinatórios onde cada resultado corresponde a uma distribuição binomial.
Fatos interessantes sobre o triângulo de Pascal
Aqui estão alguns fatos que você achará interessantes sobre o triângulo de Pascal:
- A soma de todos os elementos em qualquer linha é sempre uma potência de 2.
- A soma diagonal das linhas gera a sequência de Fibonacci.
- Cada linha corresponde aos coeficientes na expansão de (a+b)n.
- Se você sombrear apenas os números ímpares, a figura resultante forma o fractal do triângulo de Sierpinski.
