Algorytm czynnika pierwszego: C, Python Przykład

Co to jest faktoryzacja pierwsza?

Pierwszy czynnik liczby to czynnik, który sam w sobie jest Liczba pierwsza, podzielna tylko przez 1 i samą siebie.

Przykład: czynniki pierwsze liczby 10 to 2 i 5, ponieważ 2 × 5 = 10.

Znajdowanie czynników pierwszych za pomocą iteracji

Iteruj od 2 do sqrt(n) i sprawdź podzielność. Dopóki n jest podzielne przez bieżącego kandydata, wykonaj dzielenie i wydrukuj.

Przykład: każda liczba pierwsza większa niż 40 pasuje do n²+n+41, więc n = 0, 1, 2 daje 41, 43, 47.

Jak wydrukować czynnik pierwszy liczby?

• Iteruj liczby od 2 do sqrt(n).
• Sprawdź moduł n dla każdego kandydata; reszta zerowa oznacza, że ​​kandydat jest czynnikiem pierwszym.
• Zbierz wszystkie liczby pierwsze dzielące n.
• Procedura działa ze złożonością czasową O(sqrt(n)).

Algorytm:

Set a counter i to 2
While i <= sqrt(n):
    While n % i == 0:
        n = n / i
        print i
    i = i + 1
if n > 1:
    print n

Algorytm sita

Metoda sita przechowuje najmniejszy czynnik pierwszy każdej liczby aż do określonej granicy maksymalnej, znacznie obniżając koszt faktoryzacji po obliczeniach wstępnych.

• Zapisz najmniejszy czynnik pierwszy każdej liczby całkowitej do maksymalnej granicy.
• Weź najmniejszą liczbę pierwszą i dodaj ją do zbioru czynników.
• Podziel liczbę przez tę liczbę pierwszą i powtarzaj, aż dojdziesz do 1.
• Każde zapytanie wykonuje się w czasie około O(log n).

Przykład: Liczba pierwsza inna niż 2 i 3 pasuje do postaci 6n-1 lub 6n+1. Na przykład 5 = 6(1)-1 i 19 = 6(3)+1.

Algorytm: zdefiniować szyk który przechowuje najmniejszy czynnik pierwszy każdej liczby, używając indeksu jako wartości początkowej dla każdego elementu.

Set array[1] to 1
Set i to 2
While i*i <= max_number:
    If array[i] == i:
        Set j to i*i
        While j <= max_number:
            If array[j] == j:
                array[j] = i
            j = j + i
    i = i + 1
while the_number != 1:
    print array[the_number]
    the_number = the_number / array[the_number]

Powiązane artykuły

• Struktura danych wykresu i Algorithms
• Problem sprzedawcy podróży
• Algorytm metody Bisekcji
• Algorytm sortowania kubełkowego

Python Czynniki pierwsze przy użyciu iteracji

Poniższy Python kod znajduje czynniki pierwsze, używając iteracyjnej metody dzielenia prób:

import math
def PrimeFactors(n):
    for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1, 1):
        while n % i == 0:  # find all the occurrences of a prime factor
            print((int)(i))
            n = n // i
    if n != 1:  # if the number was originally a prime
        print((int)(n))
n = (int)(input("Enter the number you want: "))
PrimeFactors(n)

Wyjście:

Enter the number you want: 4
2
2

Python Czynniki pierwsze przy użyciu rekurencji

Python Poniższy kod wykorzystuje metodę sita w celu znalezienia czynników pierwszych danej liczby.

import math
High = (int)(1e5 + 7)
array = [0 for i in range(High)]

# generate smallest prime factors
def Sieve():
    for i in range(1, High):
        array[i] = i
    for i in range(2, math.ceil(math.sqrt(High))):
        if array[i] == i:
            for j in range(i * i, High, i):
                if array[j] == j:
                    array[j] = i

def PrimeFactors(n):  # divide until we reach 1
    if n == 1:
        return
    print((int)(array[n]))
    PrimeFactors((int)(n / array[n]))

Sieve()
n = (int)(input("Enter the number you want: "))
PrimeFactors(n)

Wyjście:

Enter the number you want: 4
2
2

Program czynników pierwszych w C przy użyciu iteracji

To samo rozwiązanie iteracyjne zapisane w C:wprowadź liczbę, a następnie dla każdego kandydata od 2 do sqrt(n) sprawdź podzielność i wydrukuj każde wystąpienie czynnika pierwszego.

#include <stdio.h>
int main()
{
    int n;
    printf("Enter the number you want: ");
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    {
        while (n % i == 0)  // find all the occurrences of a prime factor
        {
            printf("%d\n", i);
            n /= i;
        }
    }
    if (n != 1)  // if the number was originally a prime
    {
        printf("%d", n);
    }
    return 0;
}

Wyjście:

Enter the number you want: 2
2

Program czynników pierwszych w C przy użyciu rekurencji

Rekurencyjna wersja C odzwierciedla Python 1: zbuduj tablicę najmniejszych czynników pierwszych, a następnie rekurencyjnie dziel przez ten czynnik, aż n osiągnie 1.

#include <stdio.h>
int Max = 100007;
int array[100007];

void Sieve()  // smallest prime factors up to Max
{
    for (int i = 1; i < Max; i++)
        array[i] = i;
    for (int i = 2; i * i <= Max; i++)
    {
        if (array[i] == i)
        {
            for (int j = i * i; j < Max; j += i)
            {
                if (array[j] == j)
                    array[j] = i;
            }
        }
    }
}

void PrimeFactors(int n)
{
    if (n == 1)  // divide until we reach 1
        return;
    printf("%d\n", array[n]);
    PrimeFactors(n / array[n]);
}

int main()
{
    Sieve();
    int n;
    printf("Enter the number you want: ");
    scanf("%d", &n);
    PrimeFactors(n);
    return 0;
}

Wyjście:

Enter the number you want: 2
2

Kilka interesujących faktów na temat liczb pierwszych

• Każdą liczbę parzystą różną od 2 można zapisać jako sumę dwóch liczb pierwszych (4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3).
• Nie ma kolejnych liczb pierwszych poza 2 i 3, ponieważ 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.
• Każda liczba pierwsza oprócz 2 i 3 pasuje do postaci 6n + 1 lub 6n − 1, gdzie n jest liczbą całkowitą dodatnią.
• Zbiór czynników pierwszych danej liczby jest unikalny.
• Liczba 1 nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną.
• Rozkład na czynniki pierwsze pomaga w podzielności, upraszczaniu ułamków i znajdowaniu wspólnych mianowników.
• Rozkład na czynniki pierwsze stanowi również podstawę kodów kryptograficznych opartych na liczbach.

FAQ